Sách Luyện Thi THCS, Chuyên
Sách Mầm Non - Tiểu Học
Sách Anh Văn
Sách tiếng Trung
Sách tiếng Nhật
HASH TAG
#3 step#big step#mega 2021#aha#workbook#Sách Toán#Sách Tiếng Anh#Vật Lý#Hóa Học#Luyện thi THPT Quốc Gia#Mega luyện đề#Trắc nghiệm toán#Sinh họcBài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộpđó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.Hướng dẫn* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách)Suy ra xác suất cần tìm là
( 24 + 12) 4p = =90 10
Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.Hướng dẫn
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C 4cách lấy hay n( Ω ) = C 4 .Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C 2 C1C1 = 2160 cách+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C1 C 2C1 = 1680 cách+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C1 C1C 2 = 1200cách
Do đó, n(A) = 5040Vậy, xác suất biến cố A là
P( A) = n( A) = 5040n(Ω) 10626≈ 47, 4%
Bài 3: Từ các chữ số của tập
T = {0;1; 2; 3; 4; 5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiêncó ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó cóít nhất một số chia hết cho 5.Hướng dẫn+ Có 5.A2 = 100số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau+ Có
A2 + 4.A1 =36
số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bạn đang xem: Toán xác suất có lời giải
+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.+ n (Ω) =C1
.C1= 9900100 99
+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5”
Ta có:n ( A) =C1
.C1+C1.C1= 3564
Vậy :36 64 36 35P ( A) = n ( A) = 3564 = 9 = 0, 36
n (Ω)
20
10 5 5
9900 25Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xácsuất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵntrong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.Hướng dẫn- Số phần tử của không gian mẫu là:n (Ω) = C5
= 15504 .
- Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:n ( A) = C 3 .C1.C1 = 3000 .Vậy, xác suất cần tính là:P ( A) = n ( A) = 3000 = 125 .
n (Ω)= 995
A 415504 646Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên mộtsố từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữsố lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).Hướng dẫn
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.- Có
A8 cách chọn 8 chữ số tiếp theo
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A8 = 3265920Xét các số thỏa mãn đề bài:- Có C 4 cách chọn 4 chữ số lẻ.- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7cách xếp.- Tiếp theo ta có2 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0.- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C 4 .7.A2 .6!= 302400.5 4Vậy xác suất cần tìm là
P( A) = 302400 = 5 .3265920 54
11
5 6 5 6
16
Bài 6: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinhđể làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.Hướng dẫn- Ta cón (Ω) = C3
= 165
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C 2 .C1 + C1.C 2 = 135- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 = 9165 11
Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.Hướng dẫn- Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8- B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9- Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = A.B + A.BVậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhàhóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ vàcó đủ ba bộ môn
Hướng dẫn
Ta có : Ω = C 4= 1820Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ”B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ”C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ và đủ ba bộ môn”C 2C1C1 + C1C 2C1 + C1C1C 2 3P(H ) = 8 5 3 8 5 3 8 5 3 =Ω 7
Bài 9: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinhđể làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Xác suất có điều kiện là khả năng xảy ra của một biến cố dựa trên một biến cố nào đó. Sau đây eivonline.edu.vn xin gửi tới bạn một số bài tập xác suất có điều kiện trong môn Xác suất thống kê giúp bạn nắm vững kiến thức phần này nhé.
1. Xác suất có điều kiện là gì?
Xác suất có điều kiện(Conditional probability) là xác suất của một biến cố A nào đó khi biết rằng một biến cố B khác xảy ra. Ký hiệu P(A|B) , và đọc là “xác suất của A, biết B“.1.1 Công thức xác suất có điều kiện
Trong đó biến cố A đã xảy ra trước, còn biến cố B xảy ra sau và P(A) >0.
Trong đó biến cố B đã xảy ra trước, còn biến cố A xảy ra sau và P(B) >0. Trường hợp đặc biệt khi không gian mẫu có các kết quả đồng khả năng thì:
Trong đó m (A∩B)là số các trường hợp thuận lợi của (A∩B); m(A) là số các trường hợp thuận lợi của A.
1.2 Ví dụ xác suất có điều kiện
Ví dụ : Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Ký hiệu A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm” và B là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”. Như vậy A xảy ra trước B.
Khi con xúc xắc xuất hiện mặt 4 chấm (biến cố A đã xảy ra) thì xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6 được gọi là xác suất điều kiện của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra. Ký hiệu là P(B/A). Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì không gian mẫu sẽ chỉ còn 6 kết quả (6 biến cố) sau đây: (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6). Suy ra P(B/A) = P(4,2)=1/6 .
1.3 Công thức nhân xác suất có điều kiện
2. Phân biệt xác suất thông thường và xác suất có điều kiện
Một trong những các dễ dàng nhất để nhận biết xác suất thông thường hay xác suất có điều kiện là:
Câu hỏi chứa từ khoá: biết rằng, nếu, khi,… VD: Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2Đề bài cho lần lượt khả năng A, B. VD: Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5.3. Các dạng bài tập xác suất có điều kiện
3.1 Tính xác suất có điều kiện các biến cố độc lập
Bài 1: Một công ty đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5.a)Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự ánb) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
Giải
Gọi A là biến cố”thắng thầu dự án 1″
B là biến cố”thắng thầu dự án 2″ mà theo đề bài P(A)= 0,4 , P(B)=0,5, 2 biến cố A,B độc lập
a) Gọi A1 là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”\(P(A1)=P(A \overline{B}+ \overline{A}B)\)\(= P(A \overline{B}) +P(\overline{A}B)\)\(P(A1)=P(A).P( \overline{B})+ P(\overline{A})P(B)\)\(= 0,4.(1-0,5)+ (1-0,4).0,5=0,5\)
b) Gọi B1 là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1”
P(B1)=P(B|A)= P(B)=0,5 (do A,B độc lập)
c) Gọi C1 là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1”
\(P(C1)=P(B|\overline{A})=P(B)=0,5\)3.2 Tính xác suất điều kiện các biến cố bất kỳ
Bài 2: Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,3. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.a) A và B có độc lập không?b) Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng dự án 1c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
Giải
Tóm tắt đề bài: P(A)=0,4 , P(B)=0,5 , P(AB)=0,3
a) A,B độc lập => P(AB)= P(A).P(B)
mà 0,3 ≠0,4×0,5 => A, B không độc lập(phụ thuộc)
b) Gọi B1 là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
\(P(B1)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)\)\(=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)\)\(=P(A)+P(B)-2P(AB)=0,3\)
c) Gọi C1 là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1
\(P(C1)=P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0,3}{0,4}=0,75\)d) Gọi D1 là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”
\(P(D1)=P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}\)\(=\frac{0,5-0,3}{1-0,4}=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Một sinh viên làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là 0,8, nhưng nếu làm sai bài thứ 1 thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là 0,2. Tính xác suấta) Làm đúng ít nhất 1 bàib) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2c) Làm đúng cả 2, biết rằng làm đúng một bài
GiảiGọi A1 là biến cố làm đúng bài 1Gọi A2 là biến cố làm đúng bài 2a) Làm đúng ít nhất 1 bài\(P(A1+A2)= 1-P(\overline{A1+A2})\)\(= 1-P(\overline{A1}.\overline{A2})\)\(=1-P(\overline{A1})P(\overline{A2}|\overline{A1})=0,76\)b) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2\(P(A1.A2)= P(A1).P(A2|A1)=0,7.0,8\)\(P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)-P(A1A2)\)\(0,76= 0,7+P(A2)- 0,7.0,8\)\(=>P(A2)=0,62\)\(P(A1|A2)= \frac{P(A1A2)}{P(A2)}\)\(=\frac{P(A1)P(A2|A1)}{P(A2)}=0,903\)c) Làm đúng cả 2 biết rằng làm đúng ít nhất 1 bài\(P(A1A2|(A1+A2))= \frac{P<(A1A2).(A1+A2)>}{P(A1+A2)}\)\(= \frac{P<(A1A1A2)+(A1A2A2)>}{P(A1+A2)}\)\(=\frac{P<(A1A2)+(A1A2)>}{P(A1+A2)}\)\(= \frac{P(A1A2)}{P(A1+A2)}=0,737\)
3.3 Bài tập công thức nhân xác suất có điều kiện
Bài 4: Có 20 phế phẩm trong 100 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên lần lượt ra 2 sản phẩm. Tính xác suất:a. Sản phẩm thứ nhất là phế phẩm.b. Sản phẩm thứ hai là phế phẩm khi sản phẩm thứ nhất là phế phẩm.c. Cả hai sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm
Giải
Gọi A1 là sản phẩm lấy ra lần thứ 1 là phế phẩm, A2 là sản phẩm lấy ra lần thứ 2 là phế phẩm
a)\(P(A)=P(A1.A2+A1 \overline{A2})\)\(=P(A1.A2)+P(A1 \overline{A2})\)\(=P(A1).P(A2)+P(A1).P(\overline{A2})\)\(=\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}+\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.(1-\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}})=0,2\)b)\(P(B)=P(A2|A1)\)\(=\frac{P(A1A2)}{PA1}\)\(=P(A2)=\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}=\frac{19}{99}\)c)\(P(C)=P(A1.A2)=P(A1).P(A2)\)\(=\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}=\frac{19}{495}\)
Bài 5: Có hai hộp đựng sản phẩm. Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II; hộp thứ hai có 8 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Từ mỗi hộp chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất:a. Lấy được 2 phẩm loại Ib. Lấy được ít nhất một phẩm loại I.c. Lấy được 2 sản phẩm cùng loại.d. Nếu từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì xác suất lấy được cả ba sản phẩm đều là sản phẩm loại I bằng bao nhiêu? Xác suất để 3 sản phầm cùng loại là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi A là biến cố “Lấy được 2 sản phẩm loại I”A1 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp I”A2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp II”=> A = A1.A2 => \(P(A)= P(A1A2)= P(A1).P(A2)\)\(= \frac{7}{10}. \frac{8}{12}= 0.46\)b) Gọi B là biến cố “lấy được ít nhất một sản phẩm loại I”\(\overline{B}\) là biến cố “lấy được 2 sản phẩm loại II”\(\overline{B1}\) là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp I”\(\overline{B2}\) là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp II”=> \(P(B)= 1 – P(\overline{B}) = 1-P(\overline{B1}.\overline{B2})\)\(= 1 -(\frac{3}{10}. \frac{4}{12})=0.9\)c) Gọi C là biến cố”lấy được 2 sản phẩm cùng loại”\(P(C)= P(A∪\overline{B})= P(A)+P(\overline{B})\)\(=0,46+0,9=1,36\)d) Gọi E là biến cố “lấy 3 sản phẩm loại I”E1 là biến cố “lấy được 2 sản phẩm từ loại I từ hộp I”E2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp II”=> E=E1.E2 => \(P(E)= P(E1.E2)= P(E1).P(E2)\)\(= \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}. \frac{C_{8}^{1}}{C_{12}^{1}}= 0,31\)Gọi F là biến cố “lấy 3 sản phẩm loại II”F1 là biến cố “lấy được 2 sản phẩm từ loại II từ hộp I”F2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp II”=> F=F1.F2 => \(P(F)= P(F1.F2)= P(F1).P(F2)\)\(= \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}. \frac{C_{4}^{1}}{C_{12}^{1}}= .0,02\)Gọi D là biến cố “lấy 3 sản phẩm cùng loại”P(D)=P(E∪F)=P(E)+P(F)= 0,31+0,02=0,33
Bài 6: Hoạt động của một hệ thống thông tin gồm 3 giai đoạn: Mã hóa, truyền tin và giải mã. Một tin nhắn có xác suất bị lỗi trong giai đoạn mã hóa là 0,5%; trong giai đoạn truyền tin là 1% và trong giai đoạn giải mã là 0,1%. Giả sử các lỗi xảy ra ở các giai đoạn là độc lập.a. Xác suất để một tin nhắn không bị lỗi là bao nhiêu?b. Xác suất để một tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hóa hoặc giai đoạn giải mã là bao nhiêu?
Giải
a)Gọi A là biến cố”tin nhắn không bị lỗi”A1 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hoá”A2 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn truyền tin”A3 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn giải mã”\(A=\overline{A1}.\overline{A2}.\overline{A3}\)\(=>P(A)=P(\overline{A1}).P(\overline{A2}).P(\overline{A3})\)\(=0,95.0,99.0,99=0,984\)b)Gọi B là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hoá hoặc giai đoạn giải mã”B= A1∪A3=> P(B)=P(A1∪A3)= P(A1)+P(A3)-P(A1A3)= 0,5%+0,1%-(0,5%.0,1%)=0,00599
Bài 7: Một phòng có 3 máy tính hoạt động độc lập. Xác suất hỏng trong một tháng của mỗi máy tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3. Tính xác suất:a. Cả ba máy hỏng trong tháng.b. Có một máy hỏng trong tháng.c. Có hai máy hỏng trong tháng.d. Có ít nhất một máy hỏng trong tháng.e. Máy thứ ba bị hỏng. Biết rằng trong tháng có 2 máy bị hỏng.
Xem thêm: Top 10 Nhà Nghỉ Hà Tiên Giá Rẻ Đẹp Gần Trung Tâm Gần Biển Tốt Nhất
Giải
a)Gọi A là biến cố “cả 3 máy hỏng trong tháng”P(A)=0,1.0,2.0,3=0,006b)Gọi B là biến cố “có một máy hỏng trong tháng”Có đúng 1 máy hỏng=>Xảy ra 3 TH:+) TH1: Máy 1 hỏng, máy 2,3 bình thường=>P1=0,1.(1-0,2).(1-0,3)=0,056+) TH2: Máy 1,3 bình thường, máy 2 hỏng=>P2=(1-0,1).0,2.(1-0,3)=0,126+) TH3: Máy 1,2 bình thường, máy 3 hỏng=>P3=(1-0,1).(1-0,2).0,3=0,216=>P(B)=P1+P2+P3=0,398c) Gọi C là biến cố “có 2 máy hỏng trong tháng”Có đúng 2 máy hỏng=>Xảy ra 3 TH:+) TH1: Máy 1 hoạt động bình thường, máy 2,3 hỏng=>P1(C)=(1-0,1).0,2.0,3=0,054+) TH2: Máy 1,3 hỏng, máy 2 bình thường=>P2(C)=0,1.(1-0,2).0,3=0,024+) TH3: Máy 1,2 hỏng, máy 3 bình thường=>P3(C)=0,1.0,2.(1-0,3)=0,014=>P(C)=P1(C)+P2(C)+P3(C)=0,092d) Gọi \(\overline{D}\) là biến cố”không có máy nào hỏng”,D là biến cố có ít nhất một máy bị hỏng\(P(D)=1-P(\overline{D})\)\(= 1 – <(1-0,1).(1-0,2).(1-0,3)>\)\(=0,496\)e) \(P(E)= P(P1(C)∪P2(C)|P(C))\)\(=\frac{P1(C)∪P2(C)}{P(C)}\)\(=\frac{0,054+0,024}{0,092}\)\(=0,85\)
Hy vọng qua bài viết trên eivonline.edu.vn đã cung cấp cho bạn đủ thông tin giúp bạn giải bài tập xác suất có điều kiện một cách dễ dàng nhất. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên eivonline.edu.vn.